说明¶

说明

无限脉冲响应（IIR）滤波器是使用反馈的递归数字滤波器，在相同规格下比 FIR 滤波器更高效。但是，如果设计不当，IIR 滤波器可能不稳定。它们广泛应用于音频处理、控制系统和信号调理，其中计算效率很重要。

IIR 滤波器概述¶

数学原理¶

IIR 滤波器由其差分方程定义，包括前馈项和反馈项：

\[ y[n] = \sum_{k=0}^{M} b[k] \cdot x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a[k] \cdot y[n-k] \]

其中：

\( x[n] \) 是输入信号
\( y[n] \) 是输出信号
\( b[k] \) 是前馈（分子）系数
\( a[k] \) 是反馈（分母）系数
\( M \) 是分子阶数
\( N \) 是分母阶数

传递函数：

\[ H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b[k] \cdot z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N} a[k] \cdot z^{-k}} \]

关键特性：

递归：使用反馈（先前的输出）
高效：相同规格下比 FIR 需要更少的系数
可能不稳定：极点必须在单位圆内
非线性相位：通常具有非线性相位响应

滤波器类型¶

库支持四种基本滤波器类型：

低通：通过截止频率以下的频率，衰减以上频率
高通：通过截止频率以上的频率，衰减以下频率
带通：通过频带内的频率，衰减外部频率
带阻（陷波）：衰减频带内的频率，通过外部频率

滤波器设计¶

设计方法¶

库支持 Butterworth 滤波器设计（计划支持 Chebyshev、Elliptic 和 Bessel）：

Butterworth：最大平坦通带，单调阻带
Chebyshev Type I：等波纹通带，单调阻带（未来）
Chebyshev Type II：单调通带，等波纹阻带（未来）
Elliptic：通带和阻带都等波纹（未来）
Bessel：线性相位响应（未来）

双线性变换¶

IIR 滤波器使用双线性变换设计，将模拟 s 平面映射到数字 z 平面：

\[ s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \]

其中 \( T \) 是采样周期。

设计参数¶

截止频率：归一化频率（0.0 到 0.5，其中 0.5 = 奈奎斯特频率）
滤波器阶数：决定过渡的陡度和阻带衰减
设计方法：影响通带/阻带特性

归一化频率：

\[ f_{norm} = \frac{f_{cutoff}}{f_s / 2} \]

其中 \( f_s \) 是采样率。

滤波器设计函数¶

tiny_iir_design_lowpass¶

/**
 * @name tiny_iir_design_lowpass
 * @brief Design a low-pass IIR filter
 * @param cutoff_freq Normalized cutoff frequency (0.0 to 0.5)
 * @param order Filter order
 * @param design_method Design method (Butterworth, Chebyshev, etc.)
 * @param ripple_db Passband ripple in dB (for Chebyshev)
 * @param b_coeffs Output numerator coefficients (size: order + 1)
 * @param a_coeffs Output denominator coefficients (size: order + 1)
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_design_lowpass(float cutoff_freq, int order,
                                      tiny_iir_design_method_t design_method,
                                      float ripple_db,
                                      float *b_coeffs, float *a_coeffs);

描述:

使用指定的设计方法设计低通 IIR 滤波器。目前支持 1 阶和 2 阶的 Butterworth 设计。

参数:

cutoff_freq: 归一化截止频率（0.0 到 0.5，其中 0.5 = 奈奎斯特频率）。
order: 滤波器阶数。目前支持 1 和 2 阶的 Butterworth。
design_method: 来自 tiny_iir_design_method_t 枚举的设计方法。目前仅支持 TINY_IIR_DESIGN_BUTTERWORTH。
ripple_db: 通带波纹（dB）（用于 Chebyshev 设计，当前未使用）。
b_coeffs: 分子系数的输出数组。大小必须至少为 order + 1。
a_coeffs: 分母系数的输出数组。大小必须至少为 order + 1。注意：a[0] 始终为 1.0（归一化形式）。

返回值:

返回成功或错误代码。

注意:

系数采用归一化形式，其中 a[0] = 1.0。更高阶的滤波器需要分解为级联双二阶（二阶节）。

tiny_iir_design_highpass¶

/**
 * @name tiny_iir_design_highpass
 * @brief Design a high-pass IIR filter
 * @param cutoff_freq Normalized cutoff frequency (0.0 to 0.5)
 * @param order Filter order
 * @param design_method Design method
 * @param ripple_db Passband ripple in dB
 * @param b_coeffs Output numerator coefficients (size: order + 1)
 * @param a_coeffs Output denominator coefficients (size: order + 1)
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_design_highpass(float cutoff_freq, int order,
                                       tiny_iir_design_method_t design_method,
                                       float ripple_db,
                                       float *b_coeffs, float *a_coeffs);

描述:

使用指定的设计方法设计高通 IIR 滤波器。目前支持 1 阶和 2 阶的 Butterworth 设计。

参数:

cutoff_freq: 归一化截止频率（0.0 到 0.5）。
order: 滤波器阶数。目前支持 1 和 2 阶。
design_method: 设计方法。目前仅支持 TINY_IIR_DESIGN_BUTTERWORTH。
ripple_db: 通带波纹（dB）（当前未使用）。
b_coeffs: 分子系数的输出数组。大小必须至少为 order + 1。
a_coeffs: 分母系数的输出数组。大小必须至少为 order + 1。

返回值:

返回成功或错误代码。

tiny_iir_design_bandpass¶

/**
 * @name tiny_iir_design_bandpass
 * @brief Design a band-pass IIR filter
 * @param low_freq Lower cutoff frequency (normalized, 0.0 to 0.5)
 * @param high_freq Upper cutoff frequency (normalized, 0.0 to 0.5)
 * @param order Filter order
 * @param design_method Design method
 * @param ripple_db Passband ripple in dB
 * @param b_coeffs Output numerator coefficients
 * @param a_coeffs Output denominator coefficients
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_design_bandpass(float low_freq, float high_freq,
                                       int order,
                                       tiny_iir_design_method_t design_method,
                                       float ripple_db,
                                       float *b_coeffs, float *a_coeffs);

描述:

设计带通 IIR 滤波器。目前返回 TINY_ERR_NOT_SUPPORTED，因为完整的带通设计尚未实现。

参数:

low_freq: 下截止频率（归一化，0.0 到 0.5）。必须小于 high_freq。
high_freq: 上截止频率（归一化，0.0 到 0.5）。必须大于 low_freq。
order: 滤波器阶数。
design_method: 设计方法。
ripple_db: 通带波纹（dB）。
b_coeffs: 分子系数的输出数组。
a_coeffs: 分母系数的输出数组。

返回值:

目前返回 TINY_ERR_NOT_SUPPORTED。

tiny_iir_design_bandstop¶

/**
 * @name tiny_iir_design_bandstop
 * @brief Design a band-stop (notch) IIR filter
 * @param low_freq Lower cutoff frequency (normalized, 0.0 to 0.5)
 * @param high_freq Upper cutoff frequency (normalized, 0.0 to 0.5)
 * @param order Filter order
 * @param design_method Design method
 * @param ripple_db Passband ripple in dB
 * @param b_coeffs Output numerator coefficients
 * @param a_coeffs Output denominator coefficients
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_design_bandstop(float low_freq, float high_freq,
                                       int order,
                                       tiny_iir_design_method_t design_method,
                                       float ripple_db,
                                       float *b_coeffs, float *a_coeffs);

描述:

设计带阻（陷波）IIR 滤波器。目前返回 TINY_ERR_NOT_SUPPORTED，因为完整的带阻设计尚未实现。

参数:

low_freq: 下截止频率（归一化，0.0 到 0.5）。必须小于 high_freq。
high_freq: 上截止频率（归一化，0.0 到 0.5）。必须大于 low_freq。
order: 滤波器阶数。
design_method: 设计方法。
ripple_db: 通带波纹（dB）。
b_coeffs: 分子系数的输出数组。
a_coeffs: 分母系数的输出数组。

返回值:

目前返回 TINY_ERR_NOT_SUPPORTED。

滤波器应用¶

批处理¶

tiny_iir_filter_f32¶

/**
 * @name tiny_iir_filter_f32
 * @brief Apply IIR filter to a signal (batch processing)
 * @param input Input signal array
 * @param input_len Length of input signal
 * @param b_coeffs Numerator coefficients
 * @param num_b Number of b coefficients
 * @param a_coeffs Denominator coefficients
 * @param num_a Number of a coefficients
 * @param output Output filtered signal array (size: input_len)
 * @param initial_state Initial state vector (can be NULL for zero initial conditions)
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_filter_f32(const float *input, int input_len,
                                  const float *b_coeffs, int num_b,
                                  const float *a_coeffs, int num_a,
                                  float *output,
                                  const float *initial_state);

描述:

使用直接型 II 转置结构将 IIR 滤波器应用于整个信号。适用于整个信号可用的批处理。

特点:

使用直接型 II 转置实现（高效）
支持初始状态条件
输出长度等于输入长度

参数:

input: 输入信号数组指针。
input_len: 输入信号长度。
b_coeffs: 分子系数指针。
num_b: 分子系数数量。
a_coeffs: 分母系数指针。注意：a[0] 应为 1.0（归一化形式）。
num_a: 分母系数数量。
output: 滤波信号的输出数组指针。大小必须至少为 input_len。
initial_state: 初始状态向量。可以为 NULL 表示零初始条件。大小应为 max(num_b, num_a) - 1。

返回值:

返回成功或错误代码。

注意:

滤波器使用直接型 II 转置结构，计算效率高，需要最少的状态存储。

实时处理¶

tiny_iir_init¶

/**
 * @name tiny_iir_init
 * @brief Initialize IIR filter structure for real-time filtering
 * @param filter Pointer to IIR filter structure
 * @param b_coeffs Numerator coefficients (will be copied)
 * @param num_b Number of b coefficients
 * @param a_coeffs Denominator coefficients (will be copied)
 * @param num_a Number of a coefficients
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_init(tiny_iir_filter_t *filter,
                            const float *b_coeffs, int num_b,
                            const float *a_coeffs, int num_a);

描述:

初始化 IIR 滤波器结构以进行实时逐样本处理。为系数和状态变量分配内存。

参数:

filter: tiny_iir_filter_t 结构指针。
b_coeffs: 分子系数指针。将在内部复制。
num_b: 分子系数数量。
a_coeffs: 分母系数指针。将在内部复制。
num_a: 分母系数数量。

返回值:

返回成功或错误代码。

内存管理:

函数在内部分配内存。使用 tiny_iir_deinit() 释放它。

tiny_iir_deinit¶

/**
 * @name tiny_iir_deinit
 * @brief Deinitialize IIR filter and free allocated memory
 * @param filter Pointer to IIR filter structure
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_deinit(tiny_iir_filter_t *filter);

描述:

取消初始化 IIR 滤波器并释放所有分配的内存。

参数:

filter: tiny_iir_filter_t 结构指针。

返回值:

返回成功或错误代码。

tiny_iir_process_sample¶

/**
 * @name tiny_iir_process_sample
 * @brief Process a single sample through IIR filter (real-time)
 * @param filter Pointer to initialized IIR filter structure
 * @param input Input sample value
 * @return Filtered output sample
 */
float tiny_iir_process_sample(tiny_iir_filter_t *filter, float input);

描述:

通过 IIR 滤波器处理单个输入样本并返回滤波输出。使用直接型 II 转置结构。

参数:

filter: 初始化的 tiny_iir_filter_t 结构指针。
input: 输入样本值。

返回值:

返回滤波后的输出样本。

注意:

滤波器在调用之间维护内部状态。使用 tiny_iir_reset() 清除状态。

tiny_iir_reset¶

/**
 * @name tiny_iir_reset
 * @brief Reset IIR filter state (clear delay line)
 * @param filter Pointer to IIR filter structure
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_reset(tiny_iir_filter_t *filter);

描述:

通过清除状态变量来重置 IIR 滤波器状态。在开始新信号或出现不连续后很有用。

参数:

filter: 初始化的 tiny_iir_filter_t 结构指针。

返回值:

返回成功或错误代码。

双二阶滤波器¶

双二阶（二阶）滤波器是 IIR 滤波器的特殊情况，特别高效且常用。高阶滤波器通常分解为级联双二阶以提高数值稳定性。

tiny_iir_biquad_init¶

/**
 * @name tiny_iir_biquad_init
 * @brief Initialize a biquad (second-order) IIR filter
 * @param biquad Pointer to biquad filter structure
 * @param b0 Numerator coefficient b0
 * @param b1 Numerator coefficient b1
 * @param b2 Numerator coefficient b2
 * @param a1 Denominator coefficient a1 (a0 = 1.0)
 * @param a2 Denominator coefficient a2
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_biquad_init(tiny_iir_biquad_t *biquad,
                                    float b0, float b1, float b2,
                                    float a1, float a2);

描述:

初始化双二阶（二阶）IIR 滤波器。双二阶是高效且常用的高阶滤波器构建块。

参数:

biquad: tiny_iir_biquad_t 结构指针。
b0, b1, b2: 分子系数。
a1, a2: 分母系数（a0 = 1.0，归一化形式）。

返回值:

返回成功或错误代码。

tiny_iir_biquad_process_sample¶

/**
 * @name tiny_iir_biquad_process_sample
 * @brief Process a single sample through biquad filter (real-time)
 * @param biquad Pointer to initialized biquad filter structure
 * @param input Input sample value
 * @return Filtered output sample
 */
float tiny_iir_biquad_process_sample(tiny_iir_biquad_t *biquad, float input);

描述:

通过双二阶滤波器处理单个输入样本并返回滤波输出。

参数:

biquad: 初始化的 tiny_iir_biquad_t 结构指针。
input: 输入样本值。

返回值:

返回滤波后的输出样本。

tiny_iir_biquad_reset¶

/**
 * @name tiny_iir_biquad_reset
 * @brief Reset biquad filter state
 * @param biquad Pointer to biquad filter structure
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_iir_biquad_reset(tiny_iir_biquad_t *biquad);

描述:

通过清除内部状态变量来重置双二阶滤波器状态。

参数:

biquad: tiny_iir_biquad_t 结构指针。

返回值:

返回成功或错误代码。

使用流程¶

批处理滤波流程¶

设计滤波器:

float b_coeffs[3], a_coeffs[3];
tiny_iir_design_lowpass(0.1f, 2, TINY_IIR_DESIGN_BUTTERWORTH, 0.0f, b_coeffs, a_coeffs);

应用滤波器:

float input[256], output[256];
tiny_iir_filter_f32(input, 256, b_coeffs, 3, a_coeffs, 3, output, NULL);

实时滤波流程¶

设计滤波器:

float b_coeffs[3], a_coeffs[3];
tiny_iir_design_lowpass(0.1f, 2, TINY_IIR_DESIGN_BUTTERWORTH, 0.0f, b_coeffs, a_coeffs);

初始化滤波器:

tiny_iir_filter_t filter;
tiny_iir_init(&filter, b_coeffs, 3, a_coeffs, 3);

处理样本:

for (int i = 0; i < num_samples; i++) {
    float output = tiny_iir_process_sample(&filter, input[i]);
    // 使用输出...
}

清理:
```
tiny_iir_deinit(&filter);
```

双二阶流程¶

设计滤波器（或使用预设计的系数）:

float b_coeffs[3], a_coeffs[3];
tiny_iir_design_lowpass(0.1f, 2, TINY_IIR_DESIGN_BUTTERWORTH, 0.0f, b_coeffs, a_coeffs);

初始化双二阶:

tiny_iir_biquad_t biquad;
tiny_iir_biquad_init(&biquad, b_coeffs[0], b_coeffs[1], b_coeffs[2],
                     a_coeffs[1], a_coeffs[2]);

处理样本:

for (int i = 0; i < num_samples; i++) {
    float output = tiny_iir_biquad_process_sample(&biquad, input[i]);
    // 使用输出...
}

应用场景¶

IIR 滤波器广泛应用于：

音频处理：均衡、音调控制、音频效果
控制系统：信号调理、噪声滤波、反馈控制
生物医学：ECG/EEG 信号调理、伪影去除
通信：信道均衡、降噪
传感器信号处理：降噪、信号调理
实时系统：计算效率至关重要的场景

优缺点¶

优点¶

高效：相同规格下比 FIR 需要更少的系数
陡峭过渡：可以用低阶实现陡峭的频率响应
低延迟：与 FIR 相比群延迟最小
内存高效：比 FIR 需要更少的内存

缺点¶

潜在不稳定：如果极点在单位圆外可能不稳定
非线性相位：通常具有非线性相位响应
设计复杂：设计比 FIR 窗函数法更复杂
极限环：可能出现量化引起的极限环

稳定性考虑¶

对于 IIR 滤波器要稳定，所有极点必须位于 z 平面的单位圆内：

\[ |p_k| < 1 \quad \forall k \]

其中 \( p_k \) 是传递函数的极点。

稳定性检查：

分母多项式 \( A(z) = 1 + \sum_{k=1}^{N} a[k] \cdot z^{-k} \) 的所有根必须在单位圆内。

设计考虑¶

滤波器阶数¶

更高阶：更陡的过渡，更好的阻带衰减，但更复杂
更低阶：更简单，更快，但过渡带更宽
Butterworth：阶数决定 -3 dB 点和阻带衰减

归一化频率¶

记住要归一化频率：

在 1 kHz 采样率下 100 Hz 截止：0.2（100 / 500）
在 10 kHz 采样率下 1 kHz 截止：0.2（1000 / 5000）

系数归一化¶

IIR 滤波器使用归一化系数，其中 a[0] = 1.0。这是标准做法，简化了实现。

注意事项¶

IIR 滤波器如果设计不当可能不稳定
设计自定义滤波器时始终检查稳定性
对于更高阶，分解为级联双二阶以提高数值稳定性
使用直接型 II 转置实现高效
对于实时应用，使用 tiny_iir_init() 和 tiny_iir_process_sample()
对于批处理，使用 tiny_iir_filter_f32()
双二阶滤波器推荐用于高阶设计