说明¶

说明

离散小波变换（DWT）是一种强大的信号处理技术，可在多个分辨率级别将信号分解为不同的频率分量。与提供全局频率信息的 FFT 不同，DWT 提供时间和频率的局部化，使其非常适合分析非平稳信号、去噪、压缩和特征提取。

DWT 概述¶

数学原理¶

离散小波变换使用一对滤波器将信号分解为近似（低频）和细节（高频）系数：低通滤波器（尺度函数）和高通滤波器（小波函数）。

单级分解：

\[ cA[n] = \sum_{k} x[k] \cdot h_0[2n - k] \]

\[ cD[n] = \sum_{k} x[k] \cdot h_1[2n - k] \]

其中：

\( x[k] \) 是输入信号
\( h_0 \) 是低通分解滤波器
\( h_1 \) 是高通分解滤波器
\( cA[n] \) 是近似系数（低频）
\( cD[n] \) 是细节系数（高频）

输出长度：

\[ L_{cA} = L_{cD} = \left\lceil \frac{L_{input}}{2} \right\rceil \]

重构：

\[ x[n] = \sum_{k} (cA[k] \cdot g_0[n - 2k] + cD[k] \cdot g_1[n - 2k]) \]

其中：

\( g_0 \) 是低通重构滤波器
\( g_1 \) 是高通重构滤波器

小波类型¶

库支持 Daubechies 小波（DB1 到 DB10）：

DB1 (Haar)：最简单的小波，2 抽头滤波器，适合边缘检测
DB2：4 抽头滤波器，频率分辨率优于 DB1
DB3：6 抽头滤波器，比 DB2 更平滑
DB4：8 抽头滤波器，常用，平衡性好
DB5-DB10：更高阶小波，频率分辨率更好但滤波器更长

滤波器长度：

\[ L_{filter} = 2 \times N \]

其中 \( N \) 是小波阶数（DB1: N=1, DB2: N=2, ..., DB10: N=10）。

单级 DWT¶

tiny_dwt_decompose_f32¶

/**
 * @name tiny_dwt_decompose_f32
 * @brief Perform single-level discrete wavelet decomposition
 * @param input Input signal array
 * @param input_len Length of the input signal
 * @param wavelet Wavelet type (DB1-DB10)
 * @param cA Output array for approximation coefficients
 * @param cD Output array for detail coefficients
 * @param cA_len Output length of approximation coefficients
 * @param cD_len Output length of detail coefficients
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_dwt_decompose_f32(const float *input, int input_len,
                                    tiny_wavelet_type_t wavelet,
                                    float *cA, float *cD,
                                    int *cA_len, int *cD_len);

描述:

执行单级离散小波分解，将输入信号分解为近似（低频）和细节（高频）系数。

特点:

使用对称填充处理边界
执行低通和高通滤波器卷积
以 2 为因子下采样以保持临界采样
支持所有 Daubechies 小波（DB1-DB10）

参数:

input: 输入信号数组指针。
input_len: 输入信号长度。
wavelet: 来自 tiny_wavelet_type_t 枚举的小波类型：
TINY_WAVELET_DB1 到 TINY_WAVELET_DB10
cA: 近似系数输出数组指针。大小应至少为 (input_len + 1) / 2。
cD: 细节系数输出数组指针。大小应至少为 (input_len + 1) / 2。
cA_len: 近似系数长度的输出变量指针。
cD_len: 细节系数长度的输出变量指针。

返回值:

返回成功或错误代码。

注意:

输出系数数组的长度约为输入信号长度的一半。由于卷积操作，信号边缘附近可能出现边界效应。

tiny_dwt_reconstruct_f32¶

/**
 * @name tiny_dwt_reconstruct_f32
 * @brief Perform single-level discrete wavelet reconstruction
 * @param cA Approximation coefficients array
 * @param cD Detail coefficients array
 * @param coeff_len Length of coefficient arrays (cA and cD must have same length)
 * @param wavelet Wavelet type (DB1-DB10)
 * @param output Output array for reconstructed signal
 * @param output_len Output length of reconstructed signal
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_dwt_reconstruct_f32(const float *cA, const float *cD, int coeff_len,
                                      tiny_wavelet_type_t wavelet,
                                      float *output, int *output_len);

描述:

执行单级离散小波重构，将近似和细节系数组合以重建原始信号。

特点:

以 2 为因子上采样系数
使用重构滤波器执行卷积
组合低通和高通重构结果
中心区域完美重构（在数值精度范围内）

参数:

cA: 近似系数数组指针。
cD: 细节系数数组指针。
coeff_len: 两个系数数组的长度（必须相等）。
wavelet: 用于分解的小波类型。
output: 重构信号的输出数组指针。大小应至少为 coeff_len * 2。
output_len: 重构信号长度的输出变量指针。

返回值:

返回成功或错误代码。

注意:

重构信号长度为 coeff_len * 2。可能出现边界效应，尤其是在信号边缘附近。中心区域通常具有非常高的重构精度。

多级 DWT¶

tiny_dwt_multilevel_decompose_f32¶

/**
 * @name tiny_dwt_multilevel_decompose_f32
 * @brief Perform multi-level DWT decomposition
 * @param input Input signal array
 * @param input_len Length of the input signal
 * @param wavelet Wavelet type (DB1-DB10)
 * @param levels Number of decomposition levels
 * @param cA_out Output pointer for final approximation coefficients
 * @param cD_out Output pointer for all detail coefficients (concatenated)
 * @param len_out Output length of final approximation coefficients
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_dwt_multilevel_decompose_f32(const float *input, int input_len,
                                               tiny_wavelet_type_t wavelet, int levels,
                                               float **cA_out, float **cD_out, int *len_out);

描述:

执行多级离散小波分解，递归分解近似系数以创建信号的分层表示。

特点:

递归分解近似系数
存储所有级别的所有细节系数
返回最终近似和连接的细节系数
内存在内部分配，必须由调用者释放

参数:

input: 输入信号数组指针。
input_len: 输入信号长度。
wavelet: 来自 tiny_wavelet_type_t 枚举的小波类型。
levels: 分解级别数。必须为正数。
cA_out: 最终近似系数的输出指针指针。内存在内部分配。
cD_out: 所有细节系数的输出指针指针（从所有级别连接）。内存在内部分配。
len_out: 最终近似系数长度的输出变量指针。

返回值:

返回成功或错误代码。

内存管理:

函数为 cA_out 和 cD_out 分配内存。调用者负责使用 free() 释放此内存。

系数结构:

对于 N 级分解： - 级别 1：cA1（长度 ≈ input_len/2），cD1（长度 ≈ input_len/2）

级别 2：cA2（长度 ≈ input_len/4），cD2（长度 ≈ input_len/4）
...
级别 N：cAN（长度 ≈ input_len/2^N），cDN（长度 ≈ input_len/2^N）

cD_out 数组包含：连接的 [cD1, cD2, ..., cDN]。

tiny_dwt_multilevel_reconstruct_f32¶

/**
 * @name tiny_dwt_multilevel_reconstruct_f32
 * @brief Perform multi-level DWT reconstruction
 * @param cA_init Final approximation coefficients from multi-level decomposition
 * @param cD_all All detail coefficients (concatenated from all levels)
 * @param final_len Length of final approximation coefficients
 * @param wavelet Wavelet type (DB1-DB10)
 * @param levels Number of decomposition levels
 * @param output Output array for reconstructed signal
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_dwt_multilevel_reconstruct_f32(const float *cA_init, const float *cD_all,
                                                 int final_len, tiny_wavelet_type_t wavelet, int levels,
                                                 float *output);

描述:

执行多级离散小波重构，从最终近似和所有细节系数递归重构。

特点:

从最终近似开始递归重构
使用相应的细节系数重构每个级别
输出长度匹配原始输入长度
边界效应随分解级别累积

参数:

cA_init: 来自多级分解的最终近似系数指针。
cD_all: 从所有级别连接的所有细节系数指针。
final_len: 最终近似系数长度。
wavelet: 用于分解的小波类型。
levels: 分解级别数。
output: 重构信号的输出数组指针。大小应至少为原始输入长度。

返回值:

返回成功或错误代码。

注意:

cD_all 数组应按顺序包含细节系数：[cD_level1, cD_level2, ..., cD_levelN]。边界效应随着分解级别的增加而变得更加明显。

系数处理¶

tiny_dwt_coeffs_process¶

/**
 * @name tiny_dwt_coeffs_process
 * @brief Placeholder for user-defined coefficient processing
 * @param cA Approximation coefficients
 * @param cD Detail coefficients
 * @param cA_len Length of approximation coefficients
 * @param cD_len Length of detail coefficients
 * @param levels Number of decomposition levels
 */
void tiny_dwt_coeffs_process(float *cA, float *cD, int cA_len, int cD_len, int levels);

描述:

用于用户定义系数处理的占位符函数。用户可以扩展此函数以实现去噪、阈值处理或其他系数操作。

参数:

cA: 近似系数指针（可修改）。
cD: 细节系数指针（可修改）。
cA_len: 近似系数长度。
cD_len: 细节系数长度。
levels: 分解级别数。

注意:

目前此函数不执行任何操作。用户可以修改它以实现自定义处理，例如：

硬/软阈值处理用于去噪
系数选择用于压缩
特征提取
异常检测

使用流程¶

单级 DWT 流程¶

分解信号:

float input[64];
float cA[32], cD[32];
int cA_len, cD_len;
tiny_dwt_decompose_f32(input, 64, TINY_WAVELET_DB4, cA, cD, &cA_len, &cD_len);

处理系数（可选）:
```
// 应用阈值处理、去噪等
```

重构信号:

float output[64];
int output_len;
tiny_dwt_reconstruct_f32(cA, cD, cA_len, TINY_WAVELET_DB4, output, &output_len);

多级 DWT 流程¶

多级分解:

float *cA, *cD;
int cA_len;
tiny_dwt_multilevel_decompose_f32(input, 128, TINY_WAVELET_DB4, 3, &cA, &cD, &cA_len);

处理系数（可选）:

tiny_dwt_coeffs_process(cA, cD, cA_len, 128 - cA_len, 3);

多级重构:

float output[128];
tiny_dwt_multilevel_reconstruct_f32(cA, cD, cA_len, TINY_WAVELET_DB4, 3, output);

释放内存:
```
free(cA);
free(cD);
```

应用场景¶

DWT 广泛应用于各种应用：

信号去噪：对细节系数进行阈值处理以去除噪声
数据压缩：仅存储显著系
特征提取：分析不同尺度的系数
图像处理：2D DWT 用于图像压缩和分析
生物医学信号处理：ECG/EEG 分析、伪影去除
结构健康监测：振动分析、损伤检测
时频分析：在时间和频率上定位事件

边界效应¶

DWT 操作使用对称填充来处理信号边界。但是，仍可能出现边界效应：

单级：边界效应通常从每个边缘延伸约 filter_length 个样本
多级：边界效应累积并延伸约 filter_length × levels 个样本
中心区域：通常具有非常高的重构精度
建议：使用长度大于 2 × filter_length × levels 的信号以获得最佳结果

能量保持¶

对于完美重构小波（如 Daubechies），能量应该大致保持：

\[ E_{input} \approx E_{cA} + E_{cD} \]

\[ E_{output} \approx E_{input} \]

其中能量计算为：

\[ E = \sum_{n} |x[n]|^2 \]

边界效应可能导致轻微的能量差异，但中心区域应保持出色的能量保持。