说明¶

说明

独立成分分析（ICA）是一种盲源分离技术，将混合信号分离为独立的源成分。它假设观测信号是统计独立源的线性混合。ICA 广泛应用于信号处理、神经科学、图像处理和音频源分离应用。

ICA 概述¶

数学原理¶

ICA 解决盲源分离问题：

\[ \mathbf{X} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{S} \]

其中：

\( \mathbf{X} \) 是观测（混合）信号矩阵（num_obs × num_samples）
\( \mathbf{A} \) 是未知混合矩阵（num_obs × num_sources）
\( \mathbf{S} \) 是独立源信号矩阵（num_sources × num_samples）

目标：找到解混矩阵 \( \mathbf{W} \) 使得：

\[ \mathbf{S} = \mathbf{W} \cdot \mathbf{X} \]

关键假设：

统计独立性：源信号在统计上独立
非高斯性：最多一个源可以是高斯分布（用于可识别性）
线性混合：观测是源的线性组合
方阵或超定：观测数量 ≥ 源数量

ICA vs PCA¶

PCA：找到最大方差的正交方向（二阶统计量）
ICA：找到统计独立的方向（高阶统计量）
PCA：去相关数据（去除线性依赖）
ICA：分离独立源（去除所有依赖）

算法¶

FastICA¶

库实现了 FastICA 算法，基于最大化非高斯性：

目标函数：最大化 \( \mathbf{w}^T \mathbf{x} \) 的非高斯性

非线性函数：

tanh：\( g(u) = \tanh(u) \) - 适用于超高斯源
exp：\( g(u) = u \cdot e^{-u^2/2} \) - 适用于次高斯源
cube：\( g(u) = u^3 \) - 适用于超高斯源

算法步骤：

中心化数据：\( \mathbf{x}_c = \mathbf{x} - \text{mean}(\mathbf{x}) \)
白化数据：\( \mathbf{z} = \mathbf{D}^{-1/2} \mathbf{E}^T \mathbf{x}_c \)
使用定点迭代提取成分
正交化成分（Gram-Schmidt）

预处理¶

中心化¶

从每个观测中减去均值：

\[ \mathbf{x}_c = \mathbf{x} - \bar{\mathbf{x}} \]

其中 \( \bar{\mathbf{x}} \) 是均值向量。

白化¶

将数据变换为具有单位方差和零相关：

\[ \mathbf{z} = \mathbf{D}^{-1/2} \mathbf{E}^T \mathbf{x}_c \]

其中：

\( \mathbf{E} \) 是协方差矩阵的特征向量
\( \mathbf{D} \) 是协方差矩阵的特征值

白化矩阵：

\[ \mathbf{W}_{whiten} = \mathbf{D}^{-1/2} \mathbf{E}^T \]

函数¶

tiny_ica_separate_f32¶

/**
 * @name tiny_ica_separate_f32
 * @brief Perform ICA separation on mixed signals
 * @param mixed_signals Input mixed signals (num_obs x num_samples, row-major)
 * @param num_obs Number of observations (mixed signals)
 * @param num_samples Number of samples per signal
 * @param num_sources Number of independent sources to extract
 * @param separated_sources Output separated sources (num_sources x num_samples, row-major)
 * @param algorithm ICA algorithm to use (default: TINY_ICA_FASTICA)
 * @param nonlinearity Nonlinearity function for FastICA (default: TINY_ICA_NONLINEARITY_TANH)
 * @param max_iter Maximum number of iterations (default: 100)
 * @param tolerance Convergence tolerance (default: 1e-4)
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_ica_separate_f32(const float *mixed_signals,
                                   int num_obs,
                                   int num_samples,
                                   int num_sources,
                                   float *separated_sources,
                                   tiny_ica_algorithm_t algorithm,
                                   tiny_ica_nonlinearity_t nonlinearity,
                                   int max_iter,
                                   float tolerance);

描述:

在一次函数调用中执行完整的 ICA 分离。这是 ICA 最简单的接口。

参数:

mixed_signals: 输入混合信号数组指针。数据布局为行主序：mixed_signals[i * num_samples + j] 是观测 i 的样本 j。
num_obs: 观测数量（混合信号）。必须 ≥ num_sources。
num_samples: 每个信号的样本数。
num_sources: 要提取的独立源数量。必须 ≤ num_obs。
separated_sources: 分离源的输出数组指针。数据布局为行主序：separated_sources[i * num_samples + j] 是源 i 的样本 j。大小必须至少为 num_sources * num_samples。
algorithm: ICA 算法类型。目前仅支持 TINY_ICA_FASTICA。
nonlinearity: FastICA 的非线性函数：
TINY_ICA_NONLINEARITY_TANH: tanh（默认，适用于超高斯）
TINY_ICA_NONLINEARITY_EXP: exp(-u²/2)（适用于次高斯）
TINY_ICA_NONLINEARITY_CUBE: u³（适用于超高斯）
max_iter: FastICA 的最大迭代次数。如果 ≤ 0，默认值为 100。
tolerance: 收敛容差。当变化 < tolerance 时算法停止。如果 ≤ 0，默认值为 1e-4。

返回值:

成功时返回 TINY_OK，失败时返回错误代码。

处理步骤:

中心化数据：从每个观测中减去均值
白化数据：使用特征值分解去相关并归一化方差
提取成分：使用 FastICA 找到独立成分
重构源：将解混矩阵应用于白化数据

注意:

此函数在内部执行所有步骤。对于重复分离，使用基于结构的 API（tiny_ica_init、tiny_ica_fit、tiny_ica_transform）以避免重新计算白化矩阵。

tiny_ica_init¶

/**
 * @name tiny_ica_init
 * @brief Initialize ICA structure for repeated use
 * @param ica Pointer to ICA structure
 * @param num_obs Number of observations (mixed signals)
 * @param num_sources Number of sources to extract
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_ica_init(tiny_ica_t *ica, int num_obs, int num_sources);

描述:

初始化 ICA 结构以供重复使用。为混合矩阵、解混矩阵、白化矩阵和均值向量分配内存。

参数:

ica: tiny_ica_t 结构指针。
num_obs: 观测数量（混合信号）。必须 ≥ num_sources。
num_sources: 要提取的源数量。必须 ≤ num_obs。

返回值:

成功时返回 TINY_OK，失败时返回错误代码。

内存管理:

函数在内部分配内存。调用 tiny_ica_deinit() 释放它。

tiny_ica_fit¶

/**
 * @name tiny_ica_fit
 * @brief Fit ICA model to mixed signals (learn unmixing matrix)
 * @param ica Pointer to initialized ICA structure
 * @param mixed_signals Input mixed signals (num_obs x num_samples, row-major)
 * @param num_samples Number of samples per signal
 * @param algorithm ICA algorithm to use
 * @param nonlinearity Nonlinearity function for FastICA
 * @param max_iter Maximum number of iterations
 * @param tolerance Convergence tolerance
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_ica_fit(tiny_ica_t *ica,
                          const float *mixed_signals,
                          int num_samples,
                          tiny_ica_algorithm_t algorithm,
                          tiny_ica_nonlinearity_t nonlinearity,
                          int max_iter,
                          float tolerance);

描述:

将 ICA 模型拟合到训练数据。学习解混矩阵和白化矩阵。拟合后，使用 tiny_ica_transform() 分离新信号。

参数:

ica: 初始化的 tiny_ica_t 结构指针。
mixed_signals: 输入混合信号数组指针（行主序布局）。
num_samples: 每个信号的样本数。
algorithm: ICA 算法类型。目前仅支持 TINY_ICA_FASTICA。
nonlinearity: FastICA 的非线性函数。
max_iter: 最大迭代次数。如果 ≤ 0，默认值为 100。
tolerance: 收敛容差。如果 ≤ 0，默认值为 1e-4。

返回值:

成功时返回 TINY_OK，失败时返回错误代码。

注意:

拟合后，ICA 结构包含学习到的解混矩阵和白化矩阵。这些可以重复用于变换新数据。

tiny_ica_transform¶

/**
 * @name tiny_ica_transform
 * @brief Apply learned ICA model to separate signals
 * @param ica Pointer to fitted ICA structure
 * @param mixed_signals Input mixed signals (num_obs x num_samples, row-major)
 * @param num_samples Number of samples per signal
 * @param separated_sources Output separated sources (num_sources x num_samples, row-major)
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_ica_transform(const tiny_ica_t *ica,
                                const float *mixed_signals,
                                int num_samples,
                                float *separated_sources);

描述:

将先前拟合的 ICA 模型应用于分离新信号。比 tiny_ica_separate_f32() 快得多，因为它重用学习到的解混矩阵。

参数:

ica: 拟合的 tiny_ica_t 结构指针。
mixed_signals: 输入混合信号数组指针（行主序布局）。
num_samples: 每个信号的样本数。
separated_sources: 分离源的输出数组指针（行主序布局）。大小必须至少为 num_sources * num_samples。

返回值:

成功时返回 TINY_OK，失败时返回错误代码。

注意:

需要先使用 tiny_ica_fit() 拟合 ica。输入信号使用训练数据的均值进行中心化。

tiny_ica_deinit¶

/**
 * @name tiny_ica_deinit
 * @brief Deinitialize ICA structure and free memory
 * @param ica Pointer to ICA structure
 * @return tiny_error_t
 */
tiny_error_t tiny_ica_deinit(tiny_ica_t *ica);

描述:

取消初始化 ICA 结构并释放所有分配的内存。

参数:

ica: tiny_ica_t 结构指针。

返回值:

成功时返回 TINY_OK，失败时返回错误代码。

使用流程¶

简单一次性分离¶

float mixed_signals[2 * 512];  // 2 个观测，每个 512 个样本
float separated_sources[2 * 512];  // 2 个源，每个 512 个样本

// 执行 ICA 分离
tiny_error_t ret = tiny_ica_separate_f32(
    mixed_signals, 2, 512, 2, separated_sources,
    TINY_ICA_FASTICA, TINY_ICA_NONLINEARITY_TANH, 100, 1e-4f);

重复分离（结构 API）¶

tiny_ica_t ica;

// 初始化
tiny_ica_init(&ica, 2, 2);  // 2 个观测，2 个源

// 将模型拟合到训练数据
tiny_ica_fit(&ica, training_mixed, 512,
             TINY_ICA_FASTICA, TINY_ICA_NONLINEARITY_TANH, 100, 1e-4f);

// 变换新数据（可以多次调用）
tiny_ica_transform(&ica, new_mixed, 512, separated);

// 清理
tiny_ica_deinit(&ica);

应用场景¶

ICA 广泛应用于：

音频源分离：从混合音频中分离单个乐器或声音
生物医学信号处理：从伪影中分离 EEG/ECG 信号
图像处理：特征提取、去噪
通信：盲信道均衡
神经科学：分析脑信号、fMRI 数据
传感器阵列处理：从多个传感器分离信号

优缺点¶

优点¶

盲分离：不需要混合矩阵的先验知识
统计独立性：找到真正独立的源
非高斯源：适用于非高斯信号
灵活：可以处理不同数量的源和观测

缺点¶

模糊性：分离源的尺度和符号是模糊的
顺序模糊性：分离源的顺序是任意的
非高斯要求：最多一个源可以是高斯分布
计算成本：白化和特征值分解可能很昂贵
收敛性：对于某些信号类型可能不收敛

设计考虑¶

源数量 vs 观测数量¶

方阵情况（num_obs = num_sources）：标准 ICA 问题
超定（num_obs > num_sources）：可以首先使用 PCA 降低维度
欠定（num_obs < num_sources）：不支持（无法提取比观测更多的源）

非线性选择¶

tanh：默认选择，适用于大多数超高斯源（语音、音乐）
exp：用于次高斯源（均匀噪声、某些图像信号）
cube：超高斯源的替代方案，更简单但不太稳健

收敛参数¶

max_iter：通常 50-200 次迭代。困难情况下需要更多迭代。
tolerance：通常 1e-4 到 1e-6。更小的容差 = 更准确但更慢。

数据要求¶

样本大小：更多样本 = 更好的分离质量
独立性：源必须在统计上独立
非高斯性：最多一个源可以是高斯分布

注意事项¶

ICA 只能分离源到缩放因子和排列的程度
分离源的顺序可能与原始顺序不匹配
当源具有不同统计特性时，ICA 效果最好
白化是 ICA 的关键预处理步骤
FastICA 因其速度和简单性而成为流行算法